a) Từ $A$ kẻ đường kính $CD$

$\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{CAD}=90^o$ (cùng nhìn đường kính $CD$)

$\Rightarrow BD\perp BC;\, AD\perp AC$

mà $AH\perp BC;\, BH\perp AC\quad (AE\perp BC;\, BF\perp AC)$

nên $BD//AH;\, AD//BH$

$\Rightarrow BHAD$ là hình bình hành

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow M$ là trung điểm $HD$

Ta lại có $O$ là trung điểm $CD$ ($CD$ là đường kính của $(O)$)

$\Rightarrow CH = 2OM;\, OM//CH$ (đường trung bình)

mà $O,M$ cố định

$\Rightarrow OM$ không đổi

$\Rightarrow CH$ không đổi

b) Ta có:

$∆CBF\sim ∆CAE\, (\widehat{F}=\widehat{E}=90^o;\, \widehat{C}:\, chung)$

$\Rightarrow \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{CF}{CE}$

$\Rightarrow \dfrac{CE}{AC}=\dfrac{CF}{BC}$

Lại có: $\widehat{C}:$ góc chung

$\Rightarrow ∆CEF\sim ∆CAB\, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{CEF}=\widehat{CAB}$

Mặt khác:

$\widehat{OCE}=\widehat{DCB}=\widehat{DAB}$ (cùng chắn $\mathop{BD}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Do đó:

$\widehat{CEF}+\widehat{OCE}=\widehat{CAB}+\widehat{DAB}=\widehat{CAD}=90^o$

$\Rightarrow OC\perp EF$

c) Ta có:

$OM=\dfrac{1}{2}CH;\, OM//CH$ (câu a)

Gọi $K$ là điểm đối xứng của $O$ qua $M$

$\Rightarrow OK = 2OM;\, K$ cố định

$\Rightarrow OK=CH;\, OK//CH$

$\Rightarrow OKHC$ là hình bình hành

$\Rightarrow KH\perp EF\quad (OC\perp EF:\, câu\,\,b)$

Mặt khác:

Xét đường tròn $(H;HC)$ có:

$HE\perp CQ\quad (AE\perp BC)$

$HF\perp CP\quad (BF\perp AC)$

$\Rightarrow CE = EQ;\, CF = FP$ (định lý đường kính - dây cung)

$\Rightarrow EF//PQ$ (đường trung bình)

mà $KH\perp EF\quad (cmt)$

$\Rightarrow KH\perp PQ$

$\Rightarrow$ đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $PQ$ luôn đi qua điểm cố định $K$ là điểm đối xứng với $O$ qua $AB$