a) Ta có:

$AM = MD =\dfrac12AD\quad (gt)$

$BN = NC =\dfrac12BC\quad (gt)$

$AD = BC\quad$ ($ABCD$ là hình bình hành)

$\Rightarrow MD = BN$

mà $MD//BN\quad (AD//BC)$

nên $BMDN$ là hình bình hành

$\Rightarrow BM//DN$

$\Rightarrow BP//NQ;\, PM//DQ$

Xét $∆BCP$ có:

$BN = NC =\dfrac12BC\quad (gt)$

$BP//NQ\quad (cmt)$

$\Rightarrow PQ = QC\qquad (1)$

Xét $∆ADQ$ có:

$AM = MD =\dfrac12AD\quad (gt)$

$PM//DQ\quad (cmt)$

$\Rightarrow AP = PQ\qquad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow AP = PQ = QC$

b) Ta có:

$AC\cap BD = \left\{O\right\}$

$\Rightarrow AO = OC$

mà $AP = QC$ (câu a)

nên $AO - AP = OC - QC$

hay $OP = OQ =\dfrac{1}{2}PQ\qquad (3)$

Mặt khác, xét $∆ADC$ có:

$OA = OC$

$AM = MD$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình

$\Rightarrow OM//CD;\, OM = \dfrac12CD$

Chứng minh tương tự, ta được:

$ON//AB;\, ON=\dfrac12AB$

Ta lại có: $AB//CD$

$\Rightarrow O,M,N$ thẳng hàng

$\Rightarrow OM = ON=\dfrac{1}{2}MN\qquad (4)$

$(3)(4)\Rightarrow MPNQ$ là hình bình hành

(Dấu hiệu nhận biết thứ 5)

c) Ta có: $MPNQ$ là hình bình hành (câu b)

Do đó:

$MPNQ$ là hình chữ nhật $\Leftrightarrow PQ = MN$

$\Leftrightarrow \dfrac{PQ}{MN}=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac13CA}{CD}=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{CA}{CD}=3$