1) Ta có:

$HD\perp AB;\, HE\perp AC\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$

Xét tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{A}= \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$

Do đó $ADHE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AH = DE$

2) Xét $ΔDBH$ vuông tại $D$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $BH \quad (gt)$

$\Rightarrow ID = IB = IH$

Xét $ΔECH$ có:

$K$ là trung điểm cạnh huyền $CH\quad (gt)$

$\Rightarrow KE = KC = KH$

Do đó:

$IK = IH + KH = ID + KE$

3) Ta có:

$ID = IH$ (câu b)

$\Rightarrow ΔIDH$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{DIH} = 180^o - 2\widehat{DHI}$

Tương tự, ta được:

$ΔKEH$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{EKH} = 180^o - 2\widehat{EHK}$

Khi đó:

$\widehat{DIH} + \widehat{EKH} = 360^o - 2(\widehat{DHI} + \widehat{EHK})$

$\Rightarrow  \widehat{DIH} + \widehat{EKH} = 360^o - 2(180^o - \widehat{DHE})$

$\Rightarrow  \widehat{DIH} + \widehat{EKH} = 360^o - 2(180^o - 90^o) = 180^o$

$\Rightarrow DI//EK$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)