Câu abc.

a) Ta có:

$MD, MA$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,D$

$\Rightarrow MD = MA$

$NB,ND$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,D$

$\Rightarrow ND = NB$

Do đó:

$MN = MD + ND = MA + NB$

b) Ta có:

$MA = MD$

$OA = OD = R$

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AD$

$\Rightarrow OM$ là phân giác của $\widehat{AOD}$

$\Rightarrow \widehat{DOM} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOD}$

Tương tự, ta được:

$\widehat{DON} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOD}$

Do đó:

$\widehat{DOM} + \widehat{DON} = \dfrac{1}{2}(\widehat{AOD} + \widehat{BOD})$

$\Rightarrow \widehat{MON} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB} = \dfrac12\cdot180^o = 90^o$

$\Rightarrow ΔMON$ vuông tại $O$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔMON$ vuông tại $O$ đường cao $OD$ ta có:

$OD^2 = MD.ND$

$\Leftrightarrow R^2 = AM.NB$

c) Ta có:

$ΔMON$ vuông tại $O$ (câu b)

Gọi $E$ là trung điểm cạnh huyền $MN$

$\Rightarrow EM = EN = EO$

$\Rightarrow E$ là tâm đường tròn đường kính $MN$ với các bán kính $EM,EN,EO$

Xét hình thang $ABNM \quad (AM//BN)$ có:

$EM = EN$ (cách dựng)

$OA = OB = R$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình

$\Rightarrow OE//AM//BN$

$\Rightarrow OE\perp AB$

Vậy đường tròn $(E)$ tiếp xúc $AB$ tại $O$

d) Ta có: $AM//BN\quad (\perp AB)$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{MQ}{QB}= \dfrac{MA}{NB}$

$\Rightarrow \dfrac{MQ}{QB} = \dfrac{MD}{ND}$

$\Rightarrow DQ//NB$ (Theo định lý $Thales$ đảo)

$\Rightarrow DQ\perp AB$

Do $DH//NB\quad (DQ//NB)$

nên $DH//NB//MA$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{DQ}{NB} = \dfrac{MD}{MN} \quad (1)$

$\dfrac{QH}{NB} = \dfrac{AH}{AB}\quad (2)$

$\dfrac{MD}{DN} = \dfrac{AH}{HB}$ ($Thales$ trong hình thang)

$\Rightarrow \dfrac{MD}{MN} = \dfrac{AH}{AB}\quad (3)$

$(1)(2)(3)\Rightarrow \dfrac{DQ}{NB} = \dfrac{QH}{NB}$

$\Rightarrow DQ = QH$