Đáp án: $a)AH=4,8cm$

             $c)S_{AMHN}=11,1168cm^2$

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nha.

a) Thấy $ΔABH$ nội tiếp $(O)$ đường kính $AB$

$⇒ΔABH$ vuông tại $H$

$⇒AH⊥BC(đpcm)$

Xét $ΔABC$ vuông tại $A$

$⇒BC^2=AB^2+AC^2$ (định lí Pytago)

$⇒BC^2=6^2+8^2=100⇒BC=10(cm)$ (do $BC>0$)

Ta có: $2S_{ABC}=AB.AC=AH.BC$

$⇒6.8=AH.10⇒AH=4,8(cm)$

b) Thấy $ΔAMH$ nội tiếp $(I)$ đường kính $AH$

$⇒ΔAMH$ vuông tại $M$

$⇒MH⊥BA$

Thấy $ΔANH$ nội tiếp $(I)$ đường kính $AC$

$⇒ΔANH$ vuông tại $H$

$⇒HN⊥AC$

Xét $ΔABH$ vuông tại $H,$ đường cao $HM$

$⇒HA^2=AM.AB(1)$ (hệ thức lượng)

Xét $ΔACH$ vuông tại $H,$ đường cao $HN$

$⇒HA^2=AN.AC(2)$ (hệ thức lượng)

Từ $(1);(2)⇒AM.AB=AN.AC(đpcm)$

c) Xét tứ giác $AMHN$ có $∠MAN=∠AMH=∠ANH=90^o$

$⇒$ Tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông)

Xét $ΔABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH$

$⇒AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC$ (hệ thức lượng) 

Từ $AB^2=BH.BC⇒6^2=BH.10⇒BH=3,6(cm)$

     $AC^2=CH.BC⇒8^2=CH.10⇒CH=6,4(cm)$

Từ $MH⊥BA;AB⊥AC⇒MH//AC$

     $HN⊥AC;AB⊥AC⇒HN//AB$

Xét $ΔABC$ có:

`+MH//AC⇒\frac{MH}{AC}=\frac{BH}{BC}` (hệ thức lượng)

`⇒\frac{MH}{8}=\frac{3,6}{10}⇒MH=2,88(cm)`

`+HN//AB⇒\frac{HN}{AB}=\frac{CH}{BC}` (hệ thức lượng)

`⇒\frac{NH}{6}=\frac{6,4}{10}⇒NH=3,86(cm)`

Ta có: $S_{AMHN}=MH.NH=2,88.3,86=11,1168(cm^2)$