Giải thích các bước giải:

a.Ta có $ID//AC, AB\perp AC\to ID\perp AB$

            $IE//AB, AB\perp AC\to IE\perp AC$

            $AB\perp AC$

$\to ADIE$ là hình chữ nhật

$\to AI=DE$

b.Ta có $ADIE$ là hình chữ nhật, $AI\cap DE=O$

$\to OA=OD=OE=OI$

Mà $\Delta AHI$ vuông tại $H, O$ là trung điểm $AI$

$\to OA=OH=OI$

$\to OH=OD=OE$

$\to\Delta HDE$ vuông tại $H$

$\to \widehat{DHE}=90^o$

c.Ta có $\widehat{BAH}=90^o-\widehat{ABH}=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{IAC}=\widehat{BAH}=\widehat{ACB}=\widehat{ACI}$

$\to\Delta AIC$ cân tại $I$

Mà $IE\perp AC\to E$ là trung điểm $BC$

Lại có $ADIE$ là hình chữ nhật , $AI\cap DE=O$

$\to O$ là trung điểm $AI$

$\to OE$ là đường trung bình $\Delta AIC\to OE//BC\to DE//CB$

Mà $E$ là trung điểm $AC$

$\to DE$ là đường trung bình $\Delta ABC$

d.Gọi $AH\cap DI=F$

$\to \widehat{ADF}=\widehat{FHI}=90^o,\widehat{AFD}=\widehat{HFI}$ (đối đỉnh)

$\to\Delta ADF\sim\Delta IHF(g.g)$

$\to\dfrac{FA}{FI}=\dfrac{FD}{FH}$

$\to\dfrac{FA}{FD}=\dfrac{FI}{FH}$

Mà $\widehat{AFI}=\widehat{DFH}$

$\to\Delta FAI\sim\Delta FDH(c.g.c)$

$\to \widehat{FHD}=\widehat{AIF}$

$\to \widehat{AHD}=\widehat{AID}=\widehat{OID}$

Mà $OD=OI\to\Delta ODI$ cân tại $O$

$\to \widehat{ODI}=\widehat{OID}$

$\to \widehat{AOD}=2\widehat{OID}=2\widehat{AHD}$