a) Ta có:

$E$ đối xứng $H$ qua $AB$

$\Rightarrow AB$ là trung trực của $EH$

$\Rightarrow AB\perp EH$

$\Rightarrow\widehat{M}=90^o$

Tương tự, ta được:

$AC$ là trung trực của $HF$

$\Rightarrow \widehat{N}=90^o$

Xét tứ giác $AMHN$ có:

$\widehat{A}=\widehat{M}=\widehat{N}=90^o$

Do đó $AMHN$ là hình chữ nhật

b) Ta có:

$AB$ là trung trực của $EH$ (câu a)

$\Rightarrow AE = AH;\,\widehat{HAB}=\widehat{EAB}=\dfrac12\widehat{HAE}$

$AC$ là trung trực của $HF$

$\Rightarrow AF = AH;\,\widehat{HAC}=\widehat{FAC}=\dfrac12\widehat{HAF}$

$\Rightarrow \widehat{HAE}+\widehat{HAF}=2\widehat{HAB}+2\widehat{HAC}=2\widehat{BAC}=180^o$

$\Rightarrow E,A,F$ thẳng hàng

mà $AE = AF\quad (=AH)$

nên $E$ đối xứng $F$ qua $A$

c) Ta có:

$AMNH$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AHN}$

mà $\widehat{AHN}=\widehat{NCH}=\widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{NHC}$)

nên $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

Ta lại có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow IA = IB = IC$

$\Rightarrow ∆IAB$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{IAM}=\widehat{IBA}=\widehat{ABC}$

Ta được:

$\widehat{AMN}+\widehat{IAM}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^o$

$\Rightarrow IA\perp MN$