a)

Vì $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Nên $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$

Do đó $\dfrac{{{S}_{\Delta ABD}}}{{{S}_{\Delta ACD}}}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{3}{4}$

b)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}={{12}^{2}}+{{16}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}=400$

$\to BC=20cm$

c)

Vì $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{3}{4}$

$\to \dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD+CD}{3+4}=\dfrac{BC}{7}=\dfrac{20}{7}$

Với $\dfrac{BD}{3}=\dfrac{20}{7}\to BD=\dfrac{20}{7}\cdot 3=\dfrac{60}{7}cm$

Với $\dfrac{CD}{4}=\dfrac{20}{7}\to CD=\dfrac{20}{7}\cdot 4=\dfrac{80}{7}cm$

d)

Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}AH.BC$

$\to AB.AC=AH.BC$

$\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12.16}{20}=9,6cm$

Giải thích các bước giải:

`a)`
Ta có:
`AD` là tia phân giác của `ΔABC`
`=>(BD)/(DC)=(AB)/(AC)=12/16=3/4(text{tính chất đường phân giác trong tam giác})`
Kẻ đường cao `AH`
Ta có:`S_(ΔABD)=1/2 . BD . AH`
`S_(ΔACD)=1/2 . DC . AH`
`=>(S_(ΔABD))/(S_(ΔACD))=(1/2 . BD . AH)/(1/2 . DC . AH)=(BD)/(DC)=3/4`
`b)`
Ta có:
`ΔABC` vuông tại `A`
`=>BC^2=AB^2+AC^2(text{pi-ta-go})`
`=>BC=sqrt{AB^2+AC^2}=sqrt{12^2+16^2}=20(cm)`
`c)`
Ta có:
`(BD)/(DC)=(AB)/(AC)(cmt)`
`<=>(BD)/(AB)=(DC)/(AC)`
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
`(BD)/(AB)=(DC)/(AC)=(BD+DC)/(AB+AC)=(20)/(12+16)=5/7`
Do đó:
`{((BD)/12=5/7=>BD=5/7 . 12=60/7(cm)),((CD)/16=5/7=>CD=5/7 . 16=80/7(cm)):}`
`d)`
Xét `ΔBHA` và `ΔBAC` ta có:
`hat{BHA}=hat{BAC}=90^o`
`hat{B}:text{góc chung}`
`=>ΔBHA` $\backsim$ `ΔBAC(g.g)`
`=>(AH)/(AC)=(AB)/(BC)`
`=>(AH)/16=12/20`
`=>AH=(12.16)/20=48/5(cm)`