a) Xét $∆AMB$ và $∆CND$ có:

$BM = ND =\dfrac13BD\quad (gt)$

$AB = CD\quad (gt)$

$\widehat{ABM}=\widehat{CDN}$ (so le trong)

Do đó $∆AMB=∆CND\, (c.g.c)$

b) Ta có:

$ABCD$ là hình bình hành

$AC\cap BD =\left\{O\right\}$

$\Rightarrow OA = OC; \, OB = OD$

Ta lại có: $BM = ND\quad (gt)$

$\Rightarrow OB - BM = OD - ND$

$\Rightarrow OM = ON$

Xét tứ giác $AMCN$ có:

$OA = OC$ (tính chất)

$OM = ON\quad (cmt)$

Do đó $AMCN$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ 5)

c) Xét $∆ABC$ có:

$BO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AC\quad (OA = OC)$

$BM = \dfrac{1}{3}BD = \dfrac{2}{3}BO$

$\Rightarrow M$ là trọng tâm $∆ABC$

mà $M\in AI;\, I\in BC$

$\Rightarrow AI$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow AM = 2MI$

d) Xét tứ giác $AICK$ có:

$AI//CK\quad (AM//CN)$

$AK//CI\quad (AD//BC)$

Do đó $AICK$ là hình bình hành

$\Rightarrow AC, IK$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

mà $O$ là trung điểm $AC$

nên $O$ là trung điểm $IK$

hay $I,K$ đối xứng nhau qua $O$

Giải thích các bước giải:

(tự vẽ hình)

 a)Vì ABCD là hình bình hành

→AB//CD

mà ABM^và CDN^ là 2 góc so le trong

⇒ABM^=CDN^

Xét ΔABM và ΔCDN có:

AB=CD(vì ABCD là hình bình hành)

ABM^=CDN^

BM=DN

→ΔABM=ΔCDN(c-g-c)

⇒AM=CN(1)

b)Vì ΔABM=ΔCDN 

→ABM^=CDN^

Mà AMN^+AMB^=180 độ

   và   CNM^+CND^= 180 độ

⇒AMN^ =CNM^

vì 2 góc này so le trong

⇒CN//AM (2)

Từ (1) và (2)⇒AMCN là hình bình hành