a) Ta có:

$AC,AH$ là tiếp tuyến của $(M)$ tại $C,H$

$\Rightarrow AC = AH$

Lại có: $MC = MH= R'$

$\Rightarrow MA$ là trung trực của $HC$

$\Rightarrow MA$ là phân giác của $\widehat{HAC}$

$\Rightarrow \widehat{HAM}=\widehat{CAM}$

Mặt khác:

$OA = OB = OM = R$

$\Rightarrow ∆OAM$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{HAM}=\widehat{OMA}$

Do đó:

$\widehat{CAM}=\widehat{OMA}\quad (=\widehat{HAM})$

$\Rightarrow OM//AC$

Chứng minh tương tự, ta được: $OM//BD$

b) Ta có:

$MC\perp AC$ ($AC$ là tiếp tuyến của $(M)$ tại $C$)

$\Rightarrow MC\perp OM\quad (OM//AC)$

Tương tự: $MD\perp OM\quad (OM//BD)$

$\Rightarrow M,D,C$ thẳng hàng

$\Rightarrow OM\perp CD$

$\Rightarrow CD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$

hay $CD$ tiếp xúc $(O)$

c) Ta có:

$MA, MB$ là trung trực của $HC,HB$ (câu a)

$\Rightarrow MC = MH = MD =\dfrac12CD = a$

Ta lại có: $\widehat{AMB}=90^o$ (nhìn đường kính $AB$ của $(O)$)

$\Rightarrow ∆AMB$ vuông tại $M$

$\Rightarrow MH^2 = HA.HB$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow a^2 = AC.BD$