Giải thiết:

$\Delta ABC\bot A$

$M$ là trung điểm của $BC$

$BI$ là phân giác $\widehat{ABM}$

$BI\bot AM$ tại $H$

Trên tia đối của tia HB lấy điểm K sao cho HK=HB

Kết luận:

a) IA=IM

b) $\widehat{BIC}=?$

c) Chu vi $\Delta ABC=?$

d) $\Delta AIB=\Delta KIC$

Bài làm:

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta MBH$ có:

$\widehat{ABH}=\widehat{MBH}$ (do $BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$ giả thiết)

$BH$ chung

$\widehat{BHA}=\widehat{BHM}=90^o$ (do $BI\bot AM$ tại H giả thiết)

$\Rightarrow\Delta ABH=\Delta MBH$ (g.c.g)

$\Rightarrow AH=MH$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét $\Delta AHI=\Delta MHI$ có:

$AH=MH$ (chứng minh trên)

$\widehat{AHI}=\widehat{MHI}=90^o$ (do $BI\bot AM$ tại H giả thiết)

$HI$ chung

$\Rightarrow\Delta AHI=\Delta MHI$ (c.g.c)

$\Rightarrow AI=MI$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

b) Ta có $BA=BM$ (do hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau $\Delta ABH=\Delta MBH$ chứng minh câu a)

Lại có $AM=\dfrac12.BC=BM$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền)

$\Rightarrow BA=BM=AM\Rightarrow\Delta ABM$ đều

$\Rightarrow \widehat{ABM}=60^o\Rightarrow\widehat{ABI}=30^o$

$\Rightarrow \widehat{BIC}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}$ (góc ngoài tam giác)

$=90^o+30^o=120^o$

c) Vì $\Delta ABC$ là tam giác vuông mà độ dài các cạnh là 2 số nguyên liên tiếp nên 3 cạnh của tam giác ABC là 3, 4, 5cm

Vì $3^2+4^2=9+16=25=5^2$ (định lý pitago đảo)

$\Rightarrow$ chu vi của $\Delta ABC$ là $3+4+5=12cm$

d) Ta có $BH=BK,AM\bot BK$ nên $AM$ là đường trung trực của BK nên $MB=MK$

Và $BK\bot AM, H$ là trung điểm của AM nên $BK$ là đường trung trực của AM nên KM=KA

$\Rightarrow AM=BM=KM=AK\Rightarrow\Delta AMK$ đều

$\widehat{MAK}=60^o$ có $\widehat{MAC}=30^o\Rightarrow \widehat{CAK}=30^o$

$\widehat{AKH}=\widehat{MKH}=30^o$ (do $BK$ là trung trực của AM)

$\Rightarrow\Delta AIK$ cân đỉnh I vì có $\widehat{IAK}=\widehat{IKA}=30^o$

$\Rightarrow AI=KI$

$\Delta IMB=\Delta IMC$ (c.g.c)

(IM chung, $\widehat{IMB}=\widehat{IMC}=90^o(=\widehat{BAI}), BM=CM)$

$\Rightarrow BI=CI$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét $\Delta AIB$ và $\Delta KIC$ có:

$BI=CI$ (chứng minh trên)

$\widehat{AIB}=\widehat{KIC}$ (đối đỉnh)

$AI=KI$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow\Delta AIB=\Delta KIC$ (c.g.c)