Giải thích các bước giải:

a) Tứ giác $AEMF$ có 3 góc vuông $\widehat A=\widehat E=\widehat F$ nên suy ra $AEMF$ là hình chữ nhật.

 

b) Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ suy ra $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

$ABCD$ là hình vuông nên $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại $I$

Tam giác $AMC$ có $I$ là trung điểm $AC$ và $MI$ vuông góc với $AC$ suy ra tam giác $AMC$ là tam giác cân ở $M$

Suy ra $AM=CM$

$AEMF$ là hình chữ nhật nên $EF=AM$

Suy ra $EF=CM$ (cùng bằng $AM$)

 

c) Tam giác vuông $MFD$ có \(\widehat {FDM} = 45^o \) nên $MFD$ là tam giác vuông cân suy ra $DF=FM=AE$

Xét 2 tam giác vuông $AED$ và $DFC$ có:

$\widehat {DAE} = \widehat {FDC} = 90^o $
$AD = DC$

$FD=AE$

Suy ra ΔAED=ΔDFC(c.g.c)

⇒\(\widehat {ADE} = \widehat {FCD}\)

⇒\(\widehat {ADE} + \widehat {DFC} = \widehat {FCD} + \widehat {DFC} = 90^\circ \)

Suy ra $DE \bot CF$

 

d) Tương tự câu b ta có $BE=AF$

 Tương tự chứng minh câu c ta có $BF \bot CE$ kết hợp với phần c suy ra $O$ là trực tâm tam giác $CEF$

Gọi $N$ là giao điểm của $ME$ và $DC$ suy ra $CN$ vuông góc với $AF$

Xét 2 tam giác vuông $AEF$ và $NMC$ có

EF=MC

MN=FM=AE

Suy ra 2 tam giác vuông $AEF$ và $NMC$ bằng nhau (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {NCM}\)

Suy ra $CM \bot EF$

Suy ra $CM$ đi qua $O$ trực tâm tam giác $CEF$ (điều phải chứng minh)