Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `a)` Ta có: $\triangle$$ABC$ cân tại `A`:

=> `AB=AC` `(1)`

=> $\widehat{B}$ = $\widehat{C}$

Ta có: `M` là trung điểm `AB`:

=> `AM=BM` `(2)`

Ta có: `N` là trung điểm `AC`:

=> `AN=CN` `(3)`

Từ `(1)`, `(2)` và `(3)` suy ra:

`AM=AN;MB=NC;AM=NC;AN=MB.`

Xét $\triangle$$BMC$ và $\triangle$$CNB$ có: 

`MB=NC`( cmt)

$\widehat{B}$ = $\widehat{C}$( cmt)

`BC:` cạnh chung

=> $\triangle$$BMC$ `=` $\triangle$$CNB$( `c-g-c`)

=> $\widehat{B_2}$ `=` $\widehat{C_2}$( `2` cạnh tương ứng)

=> $\triangle$$BGC$ cân tại `G`( `đpcm`)

`b)` Ta có: $\triangle$$BGC$ cân tại `G`.

=> `GB=GC`

Xét $\triangle$$ABG$ và $\triangle$$ACG$ có:

`GB=GC`( cmt)

`AB=AC`( c/m câu `a`)

`AG:` cạnh chung

=> $\triangle$$ABG$ `=` $\triangle$$ACG$( `c-c-c`)

=> $\widehat{BAG}$ `=` $\widehat{CAG}$( `2` góc tương ứng)

=> `AG` là tia phân giác $\widehat{BAC}$ `(1)`

Xét $\triangle$$ABQ$ và $\triangle$$ACQ$ có:

`AB=AC`( c/m câu `a`)

$\widehat{B}$ = $\widehat{C}$( c/m câu `a`)

`AQ:` cạnh chung

=> $\triangle$$ABQ$ `=` $\triangle$$ACQ$( `c-g-c`)

=> $\widehat{BAG}$ `=` $\widehat{CAG}$( `2` góc tương ứng)

=> $\widehat{BAQ}$ `=` $\widehat{CAQ}$( `2` góc tương ứng)

=> `AQ` là tia phân phân giác của $\widehat{BAC}$ `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra:

`A,G,Q` thẳng hàng `(đpcm)`