`a)` Xét `ΔABH` và `ΔACK`, có

`\hat{AHB}=\hat{AKC} (=90^o)`

`AB=AC(ΔABC` cân tại `A)`

`\hat{A}-` chung

`⇒ΔABH=ΔACK` (cạnh huyền `-` góc nhọn)  (đpcm)

``

`b)` Xét `ΔKAI` và `ΔHAI`, có

`\hat{AKI}=\hat{AHI} (=90^o)`

`AI-` cạnh chung

`AK=AH(ΔABH=ΔACK)`

`→ΔKAI=ΔHAI` (cạnh huyền `-` cạnh góc vuông)

`→\hat{KAI}=\hat{HAI}` (`2` góc tương ứng)

`⇒AI` là phân giác `\hat{BAC}`  (đpcm)

``

`c)` Có `\hat{ABH}+\hat{CBH}=\hat{ABC}`

           `\hat{ACK}+\hat{BCK}=\hat{ACB}`

Mà `\hat{ABC}=\hat{ACB}(ΔABC` cân tại `A)`

      `\hat{ABH}=\hat{ACK}(ΔABH=ΔACK)`

`→\hat{CBH}=\hat{BCK}`

Mà `\hat{AFK}=\hat{BCK}` (so le trong)

       `\hat{AEH}=\hat{CBH}` (so le trong)

`→\hat{AFK}=\hat{AEH}` hay `\hat{AFI}=\hat{AEI}`

`⇒ΔIEF` cân tại `I`  (đpcm)

``

`d)` Có `AK=AH(ΔABH=ΔACK)→ΔAKH` cân tại `A`

`→\hat{AKH}=\hat{AHK}=(180^o-\hatA)/2`   `(1)`

Có `ΔABC` cân tại $A(gt)$

`→\hat{ABC}=\hat{ACB}=(180^o-\hatA)/2`   `(2)`

Từ `(1)&(2)` suy ra `\hat{AKH}=\hat{ABC}`

Mà `2` góc lại ở vị trí đồng vị

`→HK║BC` mà `BC║EF`

`⇒HK║EF(║BC)`  (đpcm)

``

`e)` Xét `ΔABO` và `ΔACO`, có

 `AB=AC(ΔABC` cân tại `A)`

`\hat{BAI}=\hat{CAI} (ΔKAI=ΔHAI)`

 `AO-` cạnh chung

`→ΔABO=ΔACO(c-g-c)`

`→\hat{BAO}=\hat{CAO}` (`2` góc tương ứng)

`→AO` là phân giác `\hat{BAC}` 

Mà `AI` là phân giác `\hat{BAC}` (câu `b`)

`→AI` và `AO` trùng nhau

`⇒A,I,O` thẳng hàng  (đpcm)