Giải thích các bước giải:

a,

E là điểm đối xứng với D qua O nên O là trung điểm DE

Theo giả thiết O là trung điểm AC

Tứ giác AECD có 2 đường chéo DE và AC cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên AECD là hình bình hành

Mặt khác,  \(AD \bot BC \Leftrightarrow AD \bot DC\) nên AECD là hình chữ nhật.

b,

Tam giác ABC cân tại A nên AD vừa là đường cao vừa là trung tuyến, hay D là trung điểm BC.

AECD là hình chữ nhật nên \(\left\{ \begin{array}{l}
AE//DC\\
AE = DC
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AE//BD\\
AE = BD
\end{array} \right.\)

Tứ giác AEDB có \(\left\{ \begin{array}{l}
AE//BD\\
AE = BD
\end{array} \right.\) nên AEDB là hình bình hành.

Do đó, BE và AD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm AD nên I là trung điểm BE.

c,

D là trung điểm BC nên \(BD = DC = \frac{{BC}}{2} = 6\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Pi - ta - go vào tam giác ADB vuông tại D ta được:

\(A{D^2} + B{D^2} = A{B^2} \Leftrightarrow AD = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}}  = 8\left( {cm} \right)\)

D và O là trung điểm của BC và AC nên ta có:

\({S_{AOD}} = \frac{1}{2}.{S_{ADC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}AD.BC = \frac{1}{8}.8.12 = 12\left( {c{m^2}} \right)\)

d,

DO là đường trung bình trong tam giác ABC nên \(DO//AB \Leftrightarrow AK//DE\)

Do đó, AEDK là hình thang

AEDK là hình thang cân thì KD = AE

Ta có:  \(AE = DC = \frac{1}{2}BC\)

Do O, I lần lượt là trung điểm của AC, AD nên K là trung điểm AB.

Do đó, KD là đường trung bình của tam giác ABC hay \(KD = \frac{1}{2}AC\)

Suy ra:  \(KD = AE \Leftrightarrow \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BC \Leftrightarrow AB = AC = BC\)

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.