Đáp án:

m \in \left\{ 2 \right\} \cup \left( {3; + \infty } \right)$

Giải thích các bước giải:

Cách vẽ:

+) Vẽ đồ thị hàm số $y = {x^2} + 2x$ 

+) Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} + 2x} \right|$ bằng cách lấy đối xứng qua trục $Ox$ phần đồ thị nằm dưới trục hoành của hàm $y = {x^2} + 2x$

+) Bỏ phần đồ thị nằm dưới trục hoành của hàm $y = {x^2} + 2x$ khi đó ta có đồ thị $y = \left| {{x^2} + 2x} \right|$

Biện luận:

Nghiệm của phương trình $\left| {{x^2} + 2x} \right| = m - 2$ là hoành độ giao điểm của $2$ đồ thị $y = \left| {{x^2} + 2x} \right|$ và $y = m - 2$

Như vậy:

Để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường $y = m - 2$ cắt đồ thị $\left| {{x^2} + 2x} \right| = m - 2$ tại $2$ điểm phân biệt

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m - 2 = 0\\
m - 2 > 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m > 3
\end{array} \right.
\end{array}$

$ \Leftrightarrow m \in \left\{ 2 \right\} \cup \left( {3; + \infty } \right)$

Vậy $m \in \left\{ 2 \right\} \cup \left( {3; + \infty } \right)$ thỏa mãn đề.