Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AB\perp AC, IM\perp AB, IN\perp AC$

$\to AMIN$ là hình chữ nhật

b.Ta có: $ E,I$ đối xứng qua $M\to M$ là trung điểm $IE$

             $IM\perp AB\to IM//AC$

Mà $I$ là trung điểm $BC\to IM$ là đường trung bình $\Delta ABC\to M$ là trung điểm $AB$

$\to IE\perp AB=M$ là trung điểm mỗi đường

$\to AEBI$ là hình thoi

c.Tương tự câu b chứng minh được $N$ là trung điểm $AC$

Vì $AEBI$ là hình thoi $\to AE//BC\to AF//BC$

$\to \dfrac{NF}{NI}=\dfrac{NA}{NC}=1$ vì $N$ là trung điểm $AC$

$\to NF=NI$

Mà $NI\perp AC\to AC\perp IF=N$

$\to F,I$ đối xứng qua $AC$

d.Gọi $D,G,H$ là hình chiếu của $O$ lên $AB,BC,CA$

$\to$Tổng bình phương khoảng cách từ $O$ đến các cạnh của tam giác $ABC$ là:
$C=OD^2+OH^2+OG^2$

Ta có: $AB\perp AC, OD\perp AB, OH\perp AC\to ADOH$ là hình chữ nhật

$\to OD^2+OH^2=DH^2=AO^2$

$\to C=AO^2+OG^2\ge \dfrac12(AO+OG)^2\ge \dfrac12 AG^2\ge \dfrac12AJ^2$

Dấu = xảy ra khi $OA=OG, E\equiv J$

$\to O$ là trung điểm $AJ$