Giải thích các bước giải:

Bài 1:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right).\left( { - {m^2} - 5m - 1} \right)\\
 = {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {{m^2} + 5m + 1} \right)\\
 = \left( {{m^2} - 4m + 4} \right) - \left( {{m^2} + 5m + 1} \right)\\
 =  - 9m + 3
\end{array}\)

a,

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\Delta  > 0 \Leftrightarrow  - 9m + 3 > 0 \Leftrightarrow 9m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{3}\)

b,

Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi:

\(\Delta  = 0 \Leftrightarrow  - 9m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}\)

Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm kép là:

\(x =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{{ - \left( {m - 2} \right)}}{{2.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)}} =  - 2.\left( {m - 2} \right) =  - 2.\left( {\dfrac{1}{3} - 2} \right) = \dfrac{{10}}{3}\)

c,

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - 9m + 3 \ge 0 \Leftrightarrow 9m - 3 \le 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{3}\)

Bài 2:

Phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 1\) nên thay \(x = 1\) vào phương trình đã cho ta được:

\(\begin{array}{l}
 - {2.1^2} - 2.\left( {m - 2} \right).1 + m - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow  - 2 - 2.\left( {m - 2} \right) + m - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow  - 2 - 2m + 4 + m - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow  - m - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow m =  - 1
\end{array}\)

Thay \(m =  - 1\) vào phương trình đã cho ta được:

\(\begin{array}{l}
 - 2{x^2} - 2.\left( { - 1 - 2} \right)x + \left( { - 1} \right) - 3 = 0\\
 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 6x - 4 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Suy ra nghiệm còn lại của phương trình là \(x = 2\)