a, ΔABD có BA = BD (gt) và $\widehat{ABD}$ = $\widehat{ABC}$ = $60^o$

⇒ ΔABD đều (đpcm)

b, ΔABD đều ⇒ AB = AD

Xét ΔAHB và ΔAHD có:

AH chung; AB = AD (cmt); HB = HD (H là trung điểm của BD)

⇒ ΔAHB = ΔAHD (c.c.c)

⇒ $\widehat{AHB}$ = $\widehat{AHD}$ mà 2 góc này kề bù

⇒ $\widehat{AHB}$ = $\widehat{AHD}$ = $90^o$

⇒ AH ⊥ BD (đpcm)

c, ΔABD đều ⇒ AB  = BD = AD = 2cm

⇒ HB = HD = 1cm

⇒ HC = BC - HB = 5 - 1 = 4cm

ΔAHB vuông tại H ⇒ AH = $\sqrt[]{AB^2-HB^2}$ = $\sqrt[]{2^2-1^2}$ = $\sqrt[]{3}$cm

ΔAHC vuông tại H ⇒ AC = $\sqrt[]{AH^2+HC^2}$ = $\sqrt[]{3+4^2}$ = $\sqrt[]{19}$cm

d, ΔADC có AD < DC (2<3=5-2)

⇒ $\widehat{DAC}$ > $\widehat{DCA}$

mà $\widehat{DAC}$ + $\widehat{DCA}$ = $\widehat{ADB}$ = $60^o$ (góc ngoài tam giác)

⇒ $\widehat{DAC}$ > $\widehat{ADB}$ : 2 = $60^o$ : 2 = $30^o$

⇒ $\widehat{BAC}$ = $\widehat{DAC}$ + $\widehat{DAB}$ > $30^o$ + $60^o$ = $90^o$.