Giải thích các bước giải:

a.Ta có : $DH\perp AB, DK\perp AC, AB\perp AC\to AHDK $ là hình chữ nhật

Mà $AD$ là phân giác $\widehat{HAK}\to AHDK$ là hình vuông

b.Vì D thuộc trung trực của BC
$\to DB=DC$

Mà $AD$ là phân giác góc $\widehat{BAC},DH\perp AB,DK\perp AC\to DH=DK$

$\to BH=\sqrt{DB^2-DH^2}=\sqrt{DC^2-DK^2}=CK$

c.Ta có : $BC=10, AC=8\to AB=\sqrt{CB^2-AC^2}=6$

$\to DM=BM=MC=\dfrac 12 BC=5$

Gọi $AD\cap BC=E$

$\to \dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}$

$\to \dfrac{EB}{EB+EC}=\dfrac{3}{3+4}\to\dfrac{EB}{BC}=\dfrac{3}{7}\to BE=\dfrac{30}7\to CE=\dfrac{40}7$

$\to ME=\dfrac 57\to DE=\dfrac{25\sqrt{2}}{7}$

Lại có : $AE$ là phân giác góc A

$\to AE^2=AB.AC-BE.EC\to AE=\dfrac{24\sqrt{2}}{7}$

$\to AD=7\sqrt{2}$

$\to DH=AH=\dfrac{AD}{\sqrt{2}}=7$

$\to BH=AH-AB=1\to S_{BHDM}=S_{DBH}+S_{BDM}=\dfrac 12 DH.BH+\dfrac 12 DM.BM=16$