a) $\Delta OBC$ có $OB=OC=R$ nên $\Delta OBC$ cân đỉnh $O$,

có $OM$ là đường trung tuyến nên $OM$ cũng là đường cao

$\Rightarrow OM\bot CB$

$\Rightarrow\widehat{OMB}=90^o$

Tứ giác $AOMK$ có $\widehat{OMK}+\widehat{OAK}=90^o+90^o=180^o$

Do đó $AOMK$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OK)$

 

b) Xét $\Delta AHN$ có:

$OM\parallel AH$ (vì cùng $\bot BC$)

$O$ là trung điểm của $AN$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình $\Delta AHN$

$\Rightarrow M$ là trung điểm $HN$

Tứ giác $BHCN$ có hai đường chéo $CB$ và $HN$ cắt nhau tại $M$ là trung điểm của mỗi đường

$\Rightarrow BHCN$ là hình bình hành.

 

c) Ta có $\Delta ACN$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AN$

nên $\widehat{ACN}=90^o\Rightarrow CN\bot AC$

Tứ giác $BHCN$ là hình bình hành

$\Rightarrow BH\parallel CN$ mà $CN\bot AC$

$\Rightarrow BH\bot AC$

Lại có $AH\bot BC$

$\Delta ABC$ có $BH$ và $CH$ là 2 đường cao cắt nhau tại $H$

nên $H$ là trực tâm $\Delta ABC$

 

d) $M$ là trung điểm cạnh $BC$

Lấy điểm $O'$ đối xứng với $O$ qua $M$ do $B,C$ cố định suy ra $M$ cố đinh suy ra $O'$ cố định

Ta có: $OM\parallel AH$ (vì vùng $\bot BC$)

$\Rightarrow OO'\parallel AH$,

$OM$ là đường trung bình $\Delta AHN\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow AH=2OM=OO'$

Do đó $AOO'H$ là hình bình hành

$\Rightarrow O'H=OA=R$ không đổi

Dựng hình bình hành $HO'KT$ ta được $KT\parallel O'H$ và có $KT=O'H$ nên $T$ cố định

$TH=O'K=OK$

Vậy $H\in(T;KO)$