$\\$

`a.`

$\triangle ABC$ có :

`M,N` là trung điểm của `AB,AC` (gt)

`=>MN` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`=>` $MN//BC$

`=>BMNC` là hình thang ($MN//BC$)

Mà `hat{B}=hat{C}` (gt)

`=>BMNC` là hình thang cân ($MN//BC$)

`b.`

$MN$ là đường trung bình của `\triangle ABC` (cmt)

`=>MN=1/2 BC` mà `BI=1/2 BC` (gt)

`=>MN=BI`

Tứ giác `BMNI` có :

$MN//BI(MN//BC)$

$MN=BI$ (cmt)

`<=>BMNI` là hình bình hành

`c,`

`\triangle ABC` cân tại `A` có `AI` là đường trung tuyến

`=>AI\bot BC`

`\triangle AIC` vuông tại `I` có `IN` là đường trung tuyến

`=>IN=1/2 AC` mà `AN=1/2 AC`(gt)

`=>IN=AN=AM`

`\triangle ABC` có :

`I,N` là trung điểm của `AC,BC` (gt)

`=>IN` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`=>` $IN//AB$ và `IN=1/2 AB`

`IN=1/2 AB, AM=1/2 AB` (cmt, gt)

`=>IN=AM`

Tứ giác `AMIN` có :

`AM=IN` (cmt)

$AM//IN(IN//AB)$

`<=> AMIN` là hình bình hành

Mà `AN=NI=AM` (cmt)

`<=>AMIN` là hình thoi

`d,`

`K` đối xứng `I` qua `N` (gt) nên `N` là trung điểm của `IK`

Tứ giác `AKCI` có :

`N` là trung điểm của `AC,IK` (gt, cmt)

`<=>AKCI` là hình bình hành

Mà `hat{AIC}=90^o(AI\bot BC)`

`<=> AKCI` là hình chữ nhật