Đáp án:

a) Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là phân giác và trung tuyến

Mà ta chứng minh được ΔOAB = ΔOAC (c-c-c)

=> góc OAB = góc OAC

=> AO là phân giác góc BAC

=> O nằm trên AH

Hay O nằm trên AD

Mà A,D cùng nằm trên (O)

=> AD là đường kính của (O)

b) Xét ΔABD có: O là trung điểm AD, OA = OB = OD

=> ΔABD vuông tại B

Tương tự ΔACD vuông tại C

c) AB = AC = 20cm; BC = 24cm

=> BH = CH  = 12cm

Áp dụng Pytago trong tam giác vuông ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\\
 \Rightarrow A{H^2} = 256\\
 \Rightarrow AH = 16 = OA + OH\\
 \Rightarrow OH = 16 - R
\end{array} \right.\\
Do:B{H^2} = O{B^2} - O{H^2}\\
 \Rightarrow {12^2} = {R^2} - {\left( {16 - R} \right)^2}\\
 \Rightarrow 144 = {R^2} - \left( {256 - 32R + {R^2}} \right)\\
 \Rightarrow 144 = 32R - 256\\
 \Rightarrow 32R = 400\\
 \Rightarrow R = \frac{{400}}{{32}} = 12,5\left( {cm} \right)
\end{array}$

Vậy bán kính đường tròn là 12,5cm