Giải thích các bước giải:

a/ Chứng minh: OA vuông góc MN.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có \(AM = AN \Rightarrow A\) thuộc trung trực của MN.

Lại có \(OM = ON = R \Rightarrow O\) thuộc trung trực của MN

\( \Rightarrow OA\) là trung trực của MN.

\( \Rightarrow OA \bot MN\) (1).

b/ Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng: MC//AO.

Xét tam giác MNC có: \(MO = OC = ON = R \Rightarrow MC = \dfrac{1}{2}NC\)

\( \Rightarrow \Delta MNC\) vuông tại M (Định lí đường trung tuyến)

\( \Rightarrow MN \bot MC\) (2).

Từ (1) và (2) => MC // AO.

c/ Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3 cm, OA = 5 cm.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = O{A^2} - O{M^2}\\A{M^2} = {5^2} - {3^2} = 16\\AM = 4\,\,\left( {cm} \right) = AN\end{array}\)

Gọi H là giao điểm của MN và OA.

\( \Rightarrow MN \bot AO\) tại H.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, đường cao MH có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,O{M^2} = OH.OA\\ \Rightarrow {3^2} = OH.5\\ \Rightarrow OH = \dfrac{9}{5}\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AH = OA - OH = \dfrac{{16}}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{H^2} = OH.AH = \dfrac{9}{5}.\dfrac{{16}}{5}\\ \Rightarrow MH = \dfrac{{12}}{5}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

OA là trung trực của MN (cmt) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của MN

\( \Rightarrow MN = 2MH = \dfrac{{24}}{5}\,\,\left( {cm} \right)\).