1. a) Tứ giác AEBH là hình gì? Vì sao?

Ta có: E là điểm đối xứng của H qua D => D là trung điểm của EH.

Xét tứ giác AEBH ta có:

AB cắt EH tại D

D là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của EH (gt)

=> AEBH là hình bình hành (dhnb).

Lại có: góc AHB = 90 độ (do AH vuông góc với BC).

=> AEBH là hình chữ nhật. (dhnb)

1. b) Tính diện tích AEBH.

Ta có: Tam giác ABC cân tại A có đường cao AH

=> AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.

=> BH = HC = 6 : 2 = 3 cm.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABH vuông tại H ta có:

\(\begin{array}{l}AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4.\\ \Rightarrow {S_{AEBH}} = AH.BH = 3.4 = 12\,\,c{m^2}.\end{array}\)  

1. c) Chứng minh CG // EF.

Xét tam giác ABC có:

CD cắt AH tại G

Mà CD và AH là hai đường trung tuyến của tam giác ABC.

=> G là trọng tâm tam giác ABC.

=> BF là đường trung tuyến của tam giác ABC.

=> F là trung điểm của AC. (1)

Xét tứ giác AEHC ta có:

AE = HC (= BH)

AE // HC (AE // BH)

=> AEHC là hình bình hành. (dhnb)

=> EH // AC và EH = AC (tính chất hình bình hành).  (2)

Mà D là trung điểm của EH

=> DE = 1/2 EH. (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: ED = FC = 1/2 ED = 1/2 AC.

Lại có EH // AC (cmt)

=> EDCF là hình bình hành

=> CD // EF hay CG // EF.