Đáp án:

Đpcm. Xảy ra khi: $x=y=z$

Giải thích các bước giải:

Ta đặt: $\begin{cases} \dfrac{x}{y+z}=a\\\dfrac{y}{z+x} =b\\\dfrac{z}{x+y}=c \end{cases}$ $(a,b,c \ge 0)$

Biểu thức trở thành:

$\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c} \ge 2\sqrt[]{1+abc}$

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 3 số thực không âm:

*Dạng: $x+y+z \ge 3\sqrt[]{xyz}$ $\forall x,y,z \ge 0$

$=>\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c} \ge 3\sqrt[3]{\sqrt[]{abc}} = 3.\sqrt[6]{abc}$

Từ đó chuyển điều phải chứng minh trở thành:

$=> 3.\sqrt[6]{abc} \ge 2\sqrt[]{1+abc}$ 

Do hai vế là các biểu thức không âm, thực hiện bình phương hai vế:

$=> 9.\sqrt[3]{abc} \ge 4(1+abc)$ `(*)`

Ta đặt: $t=\sqrt[]{3}{abc} \ge 0$

Bây giờ ta phải tìm điều kiện cho $t$.

Ta có: $t=\sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}}$

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 3 số: (Như bên trên)

$=> \sqrt[3]{\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}} \le \sqrt[3]{\dfrac{xyz}{2\sqrt[]{xy}.2\sqrt[]{yz}.2\sqrt[]{xz}}} = \sqrt[3]{\dfrac{xyz}{8xyz}} = \dfrac{1}{2}$

$=>0\le t \le \dfrac{1}{2}$

Biểu thức `(*)` trở thành:

$=> 9t \ge 4(1+t^3)$

$<=>4t^3-9t+4 \le 0$

Đến đây mình dùng sơ đồ Hoocne với $t=\dfrac{1}{2}$ đã bấm máy sẵn, thu được phương trình tương đương là:

$<=> (t-\dfrac{1}{2}).(t^2+\dfrac{t}{2}-2) \ge 0$

Với điều kiện trên của $t$, ta có:

Khi $0 \le t \le \dfrac{1}{2} => f(t)=t^2+\dfrac{t}{2}-2 \in [-2;-\dfrac{3}{2}] < 0$

Và $t \le \dfrac{1}{2} => t-\dfrac{1}{2} \le 0$

$=>(t-\dfrac{1}{2}).(t^2+\dfrac{t}{2}-2) \ge 0$ (Luôn đúng)

->Điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi: $t=\dfrac{1}{2} <=> a=b=c <=> x=y=z$

Đây là ý tưởng của mình. Nếu sai thì mod cứ xóa ạ!.