Đáp án:

$\left[\begin{array}{l}(d): y = - 3x + 6\\(d): y = - 3x -1\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

$y = f(x) =\dfrac{x +1}{2x -1}^2\qquad \left(TXĐ: D =\Bbb R\backslash\left\{\dfrac12\right\}\right)$

$\to y' = f'(x) =-\dfrac{3}{(2m-1)^2}$

Gọi $m$ là hoành độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ có dạng:

$(d): y = f'(m)(x - m) + f(m)$

$\to y = -\dfrac{3}{(2m-1)^2}(x - m)+ \dfrac{m +1}{2m-1}$

$\to y =\dfrac{3m^2 + 4m - 1 - 3x}{(2m-1)^2}$

Gọi $A(a;0),\, B(0;b)$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ và $Ox,\, Oy$

$\to A;\, B\in (d)$

$\to \begin{cases}0 =\dfrac{3m^2 + 4m - 1 - 3a}{(2m -1)^2}\\b = \dfrac{3m^2 + 4m -1}{(2m-1)^2}\end{cases}$

$\to \begin{cases}a =\dfrac{3m^2 + 4m - 1}{3}\\b = \dfrac{3m^2 + 4m -1}{(2m-1)^2}\end{cases}$

Theo đề ta có:

$AB = \sqrt{10}OA$

$\to AB^2 = 10OA^2$

$\to a^2+ b^2 = 10a^2$

$\to b^2 = 9a^2$

$\to \left[\dfrac{3m^2 + 4m -1}{(2m-1)^2}\right]^2 = 9\cdot\left(\dfrac{3m^2 + 4m - 1}{3}\right)^2$

$\to (3m^2 + 4m -1)^2\cdot\left[\dfrac{1}{(2m-1)^4} -1\right]=0$

$\to \left[\begin{array}{l}3m^2 + 4m-1= 0\\(2m-1)^4 = 1\end{array}\right.$

$\to \left[\begin{array}{l}m = \dfrac{-2 -\sqrt7}{3}\\m=\dfrac{-2+\sqrt7}{3}\\m = 1\\m = 0\end{array}\right.$

Ta được:

$\quad \left[\begin{array}{l}(d_1): y =-\dfrac{27x}{7(11 + 4\sqrt7)}\\(d_2): y =- \dfrac{27x}{7(11-4\sqrt7)}\\(d_3): y = - 3x + 6\\(d_4): y = - 3x -1\end{array}\right.$

Do $A\ne B \to O\not\in (d)$

nên ta được:

$\quad \left[\begin{array}{l}(d): y = - 3x + 6\\(d): y = - 3x -1\end{array}\right.$