Bài 1:

a) Do $AB$ và $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\Rightarrow AB=AC\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $A$

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta ACO$ có:

$AB=AC$

$BO=CO=R$

$AO$ chung

$\Rightarrow $ $\Delta ABO=\Delta ACO$ (c.c.c)

$\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$

$\Rightarrow AO$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Mà $\Delta BAC$ cân đỉnh $A$ có $AO$ là phân giác nên $AO$ cũng là đường cao

$\Rightarrow AO\bot BC$ (đpcm)

 

b) Gọi $I=AO\cap BC$

$\Rightarrow IB=IC$ (Do $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $AI$ là đường cao nên $AI$ cũng là trung tuyến $\Rightarrow I$ là trung điểm $BC$ )

Ta được $AO$ đi qua trung điểm $I$ của $BC$ và vuông góc với $BC$

$\Rightarrow AO$ là trung trực của $BC$

 

c) $\Delta BCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $(DC)$

$\Rightarrow \Delta BCD\bot B\Rightarrow \widehat {DBC}=90^o$

$\Rightarrow BD\bot BC$ mà $AO\bot BC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow BD\parallel AO$ (vì cùng $\bot BC$)

 

d) $OM\parallel AB$ (do cùng $\bot OB$)

$\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{BAO}$ (2 góc ở vị trí so le trong)

Mà $\widehat{BAO}=\widehat{OAM}$

$\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{OAM}$

$\Rightarrow \Delta AOM$ cân đỉnh $M$

$\Rightarrow MA=MO$

 

2) Do $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

$\Rightarrow MA=MB\Rightarrow \Delta MAB$ cân đỉnh $M$

Lại có $\widehat{AMB}=60^o\Rightarrow \Delta MAB$ đều

$\Rightarrow MA=MB=AB$

Mà $P_{MAB}=18$

$\Rightarrow MA+MB+AB=18$

$\Rightarrow 3AB=18\Rightarrow AB=6$.