Đáp án:

Do `2n` là số chẵn

`-> 2n + 1` là số lẻ `-> 2n + 1` là số chính phương lẻ

`-> 2n + 1` chia `8` có dư là số lẻ

Các số dư lẻ khi chia cho `8` là `1,3,5,7` nhận thấy bình phương của các số này đều chia `8` dư `1`

Như vậy Số chính phương lẻ chia `8` dư `1`

`-> 2n + 1` chia `8` dư `1`

`-> 2n ` chia hết cho `8`

`-> n` chia hết cho `4`

`-> n` là số chẵn

`-> 3n + 1` là số lẻ

`-> 3n + 1` là số chính phương lẻ

`-> 3n + 1` chia `8` dư `1`

`-> 3n` chia hết cho `8`

mà `(3,8) = 1`

`-> n` chia hết cho `8 (1)`

Ta lại có : 

Các số dư khi chia cho `5` là `0,1,2,3,4`  nhận thấy bình phương của các số này chia `5` dư `0,1,4`

`-> ` số chính phương chia `5` dư `0,1,4`

Để `2n + 1` chia `5` dư `0,1,4`

Thì `n` chia `5` dư `0,2,4`

Để `3n + 1` chia `5` dư `0,1,4`

thì `n` chia `5` dư `0,1,3`

Để `2n + 1` và `3n + 1` đồng thời chia `5` dư `0,1,4` 

thì `n` chia hết cho `5 (2)`

Do `(5,8) = 1`

Từ (1)(2) 

`-> n` chia hết cho `40`

Đặt `n = 40k (k ∈ N)`

`-> 2n + 1 = 80k + 1 (3)`

            Đặt `2n + 1 = a^2   (a,b ∈ N)`

                   `3n + 1 = b^2`

Ta có 

`2n + 9 = 25(2n + 1) - 16(3n + 1) = 25a^2 - 16b^2 = (5a - 4b)(5a + 4b)`

Do `5a + 4b > 5a - 4b (∀a,b ∈ N)`

Để `p` là SNT `<=> 2n + 9` là số nguyên tố

`-> 5a + 4b = 2n + 9 = 80k + 9 (*)`

      `5a - 4b = 1 (**)`

Từ `(*)` và `(**)`

`-> 5a = (80k + 9 + 1)/2 = 40k + 5 -> a = 8k + 1`

     `4b = (80k + 9 - 1)/2 = 40k + 4 -> b = 10k + 1`

`-> 2n + 1 = a^2 = (8k + 1)^2 = 64k^2 + 16k + 1 (4)`

Lấy `(4) - (3)` ta được

    `64k^2 - 64k = 0`

`-> 64k(k - 1) = 0`

`-> k = 0` hoặc `k = 1`

Với `k = 0 -> n = 0 -> p - 9 = 2n = 0 -> p = 9` không là số nguyên tố ( Loại)

Với `k = 1 -> n = 40 -> 2n + 1 = 2.40 + 1 = 81` là số chính phương

                                      `3n + 1 = 3.40 + 1 = 121` là số chính phương

                                      `p - 9 = 80 -> p = 89` là số nguyên tố < TM>

Vậy `n = 40`

     

     

Giải thích các bước giải: