a,

Đường tròn lớn có $OB\bot AD$, $OC\bot AF$

$\Rightarrow AB=BD; AC=FC$             

$\Rightarrow AB=\dfrac{1}{2}AD; AC=\dfrac{1}{2}AF$       

Đường tròn nhỏ có $AB$, $AC$ là các tiếp tuyến nên $AB=AC$

Nhân 2 vế với $2$, suy ra $AD=AF$

b,

Xét đường tròn nhỏ.

Có $MN>PQ$ nên khoảng cách từ O đến $MN$ nhỏ hơn từ O đến $PQ$

$\Rightarrow$ khoảng cách từ O đến $AE$ nhỏ hơn khoảng cách từ O đến $AH$

$\Rightarrow AE>AH$

c,

Tứ giác $ABOC$ có 2 góc đối là góc vuông: $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o$

Suy ra tứ giác $ABOC$ nội tiếp. Vậy 4 điểm A B O C thuộc 1 đường tròn.

d,

Kí hiệu khoảng cách từ 1 điểm $M_o$ đến đường thẳng $d_o$ nào đó là $d(M_o; d_o)$

Ta có $d(O; AE)<d(O; AH)$ do $AE>AH$

Mà $d(O;AD)=d(O;AF)=OB=OC$

nên góc hợp bởi tia $AF$, $AD$ lớn hơn góc hợp bởi $AH$, $AF$

$\Rightarrow \widehat{DAE}>\widehat{FAH}$  (1)

Có $AB$, $AC$ tiếp tuyến đường tròn nhỏ nên $\widehat{OAB}=\widehat{OAC}$ (2)

(1)(2) $\Rightarrow \widehat{OAE}<\widehat{OAH}$