Đáp án:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{8a^3\sqrt6}{3}$

$V_{D.SGB} = \dfrac{4a^3\sqrt6}{9}$

Giải thích các bước giải:

$ABCD$ là hình vuông cạnh `2a`

$\Rightarrow \begin{cases}AC = BD = 2a\sqrt2\\S_{ABCD} = 4a^2\end{cases}$

Ta có:

$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCA} = 60^\circ$

$\Rightarrow SA = AC.\tan60^\circ = 2a\sqrt2\cdot\sqrt3 = 2a\sqrt6$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SA =\dfrac13\cdot4a^2\cdot 2a\sqrt6 = \dfrac{8a^3\sqrt6}{3}$

Ta có: $SA\perp AB$

$\Rightarrow S_{SAB} = \dfrac12SA.AB = \dfrac12\cdot2a\sqrt6\cdot2a = 2a^2\sqrt6$

Ta lại có: $G$ là trọng tâm $ΔSAB\quad (gt)$

$\Rightarrow S_{SGB} = \dfrac13S_{SAB} = \dfrac{2a^2\sqrt6}{3}$

Mặt khác:

$SA\perp AD\quad (SA\perp (ABCD))$

$AB\perp AD\quad (gt)$

$\Rightarrow AD\perp (SAB)$

$\Rightarrow AD = d(D;(SAB)) = d(D;(SGB))$

$\Rightarrow V_{D.SGB} = \dfrac13S_{SGB}.AD = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2a^2\sqrt6}{3}\cdot 2a = \dfrac{4a^3\sqrt6}{9}$