Đáp án:

$GTNN = \dfrac{2}{3}$ . Xảy ra khi: $a=b=\dfrac{2\sqrt[]{77}}{11}$; $c=\dfrac{10\sqrt[]{77}}{11}$

Giải thích các bước giải:

$P = \dfrac{5a+5b+2c}{\sqrt[]{12(a^2+28)}+\sqrt[]{12(b^2+28)}+\sqrt[]{c^2+28}}$

$=\dfrac{5a+5b+2c}{\sqrt[]{12(a^2+ab+bc+ac)}+\sqrt[]{12(b^2+ab+bc+ac)}+\sqrt[]{c^2+ab+bc+ac}}$

$=\dfrac{5a+5b+2c}{\sqrt[]{12(a+b)(a+c)}+\sqrt[]{12(b+a)(b+c)}+\sqrt[]{(c+a)(c+b)}}$

$=\dfrac{5a+5b+2c}{\sqrt[]{(6a+6b)(2a+2c)}+\sqrt[]{(2b+2c)(6a+6b)}+\sqrt[]{(c+a)(c+b)}}$

Áp dụng bất đẳng thức Co-si: $\sqrt[]{xy} \le \dfrac{x+y}{2}$ $\forall x,y >0$

$=> P \ge \dfrac{5a+5b+2c}{\dfrac{6a+6b+2a+2c}{2}+\dfrac{2b+2c+6a+6b}{2}+\dfrac{c+a+c+b}{2}} = \dfrac{5a+5b+2c}{\dfrac{3}{2}.(5a+5b+2c)} = \dfrac{2}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: $\dfrac{2}{3}$

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=\dfrac{2\sqrt[]{77}}{11}$ và $c=\dfrac{10\sqrt[]{77}}{11}$