`a)`

Thay `m=1` vào phương trình ta được:

` x^2 - 4x + 2 = 0 `

`\Delta' = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 `

` -> \Delta' > 0 `

` -> ` Pt có `2` nghiệm phân biệt.

`x_1 = 2 + \sqrt{2} `

`x_2 = 2- \sqrt{2} `

$\\$

$\\$

$\\$

`b)`

` x^2 - 2. (m + 1). x + 2m = 0 `

`\Delta' = (-m - 1)^2 - 2m = m^2 + 2m + 1 - 2m = m^2 + 1`

`-> \Delta' > 0 \forall m `

`->` Pt luôn có `2` nghiệm phân biệt.

Theo Vi-ét:   $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2m + 2\\x_1. x_2 = 2m \end{cases}$

Mà để:  `\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{2} `

` <=> x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1. x_2} = 2 `

`<=> 2m + 2 - 2 = -2\sqrt{2m} `

` <=> 2m = -2\sqrt{2m} `

` <=> 4m^2 = 8m `

` <=> m^2 - 2m = 0 `

` <=> m. (m - 2) = 0 `

` <=> ` $\left[\begin{matrix} m = 0\\ m-2=0\end{matrix}\right.$

` <=> ` $\left[\begin{matrix} m=0\\ m=2\end{matrix}\right.$

Vậy các giá trị `m` cần tìm là `0` và `2` 

`a,` Thay `m=1` vào phương trình ta được:

`x^2-2(1+1)x+2.1=0`

`⇔x^2-4x+2=0`

`Δ'=(-2)^2-2=2>0`

`->` Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

`x_1=(-(-2)-\sqrt{2})/1=2-\sqrt{2}`

`x_2=(-(-2)+\sqrt{2})/1=2+\sqrt{2}`

Vậy `m=1` thì phương trình có nghiệm `S={2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}}`

`b,` Phương trình có hai nghiệm khi:

`Δ'=(m+1)^2-2m ge  0 `

`⇔m^2+2m+1-2m ge 0`

`⇔m^2+1 ge 0`

Vì `m^2 ge 0 ∀ m`

`->m^2+1 ge 1 ∀m`

`⇒` Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi `m`

Áp dụng vi-et ta được:

`{(x_1+x_2=2(m+1)=2m+2),(x_1 x_2=2m):}`

Ta có:

`\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{2}`

`⇔(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2=2`

`⇔x_1+x_2+2\sqrt{x_1 x_2}=2`

`⇔2m+2+2\sqrt{2m}=2`

`⇔2m+2\sqrt{2m}=0`

`⇔m+\sqrt{2}. \sqrt{m}=0`

`⇔\sqrt{m} (\sqrt{m}+\sqrt{2})=0`

`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}\sqrt{m}=0\\\sqrt{m}+\sqrt{2}=0\end{array} \right.\) 

`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}m=0\\\sqrt{m}=-\sqrt{2}(loại)\end{array} \right.\) 

Vậy `m=0` thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn đều kiện.