Đáp án:

a)  $\begin{cases}\Delta:x-2=0\\\Delta:4x-3y-11=0\end{cases}$

b)  $\Delta :x-3y+1=0$

 

Giải thích các bước giải:

$A\left( 2;1 \right)\,\,,\,\,B\left( 3;-2 \right)$

a)

Gọi $\Delta :ax+by+c=0\,\,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)$

Vì $A\left( 2;1 \right)\in \Delta $

$\Rightarrow 2a+b+c=0$

$\Rightarrow c=-2a-b$

Vì $\Delta $ cách $B$ một đoạn bằng $1$

$\Rightarrow {{d}_{\left( B;\Delta  \right)}}=1$

$\Rightarrow \dfrac{\left| 3a-2b+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=1$

$\Rightarrow \left| 3a-2b-2a-b \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

$\Rightarrow \left| a-3b \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

$\Rightarrow {{a}^{2}}-6ab+9{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

$\Rightarrow 8{{b}^{2}}-6ab=0$

$\Rightarrow 2b\left( 4b-3a \right)=0$

$\Rightarrow b=0$  hoặc $4b=3a$

 

Với $b=0$

Chọn $a=1\Rightarrow c=-2$

$\Rightarrow \Delta :x-2=0$

 

Với $4b=3a$

Chọn $b=3\Rightarrow a=4\Rightarrow c=-11$

$\Rightarrow \Delta :4x-3y-11=0$

 

Vậy $\begin{cases}\Delta:x-2=0\\\Delta:4x-3y-11=0\end{cases}$

 

b)

Vẽ $BH\bot \Delta $ tại $H$

Theo quan hệ đường xiên – đường vuông góc – hình chiếu

Ta có $BH\le BA$

$\Rightarrow {{d}_{\left( B;d \right)}}\le BA$

$\Rightarrow {{d}_{{{\left( B;d \right)}_{\max }}}}=BA$

Dấu “=” xảy ra khi $H\equiv A$

Khi đó $AB\bot \Delta $

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 1;-3 \right)$ là VTPT của $\Delta $

Và $\Delta $ đi qua $A\left( 2;1 \right)$

$\Rightarrow \Delta :1\left( x-2 \right)-3\left( y-1 \right)=0$

$\Rightarrow \Delta :x-3y+1=0$