Đáp án: OM=$\frac{{20}}{3}$cm

 

Giải thích các bước giải:

Gọi OK cắt AM tại L, O'K cắt BM tại H

 Theo ý b ta đã chứng minh được ΔO'KO vuông tại K

=> ∠OKO'=90 độ (1)

Vì AK và MK là tiếp tuyến của (O)

=> ∠MAK=∠AMK

Tương tự:

∠KMB=∠KBM

=> ∠AMK+∠KMB=∠KBM+∠MAK

=> ∠AMB=∠KBM+∠MAK

Lại có:∠AMB+∠KBM+∠MAK=180 độ

=> 2∠AMB=180 độ

=> ∠AMB=90 độ  (2)

Vì AK và MK là tiếp tuyến của (O)=> L là trung điểm AM và OK⊥AM  (3)

Từ (1), (2), (3)

=> LKHM là hình chữ nhật=> LK//MB

Vì L là trung điểm AM

=> LK là đường trung bình tam giác ABC

=> LK=MB/2=3cm và K là trung điểm AB

$A{B^2} = A{M^2} + B{M^2}$

=> $A{B^2} = {6^2} + {8^2} = 100$

=> AB=10cm

=> MK=AB/2=5cm(do K là trung điểm AB)

Xét ΔKOM có ML⊥OK, ∠OMK=90 độ

=> $M{K^2} = KL.OK$

=> OK=$\frac{{25}}{3}$cm

=> $O{M^2} = O{K^2} - K{M^2} = {\frac{{25}}{3}^2} - {5^2} = \frac{{400}}{9}$

=> OM=$\frac{{20}}{3}$cm