a)

Tứ giác $AOMN$ có $\widehat{OAN}+\widehat{OMN}=180{}^\circ $

Nên $AOMN$ nội tiếp được đường tròn

 

b)

Có $\widehat{AMB}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Nên $AM\bot BD$ tại $M$

Có $NM=NA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta NMA$ cân tại $N$

$\Rightarrow \widehat{NAM}=\widehat{NMA}$

Mà: $\begin{cases}\widehat{NAM}+\widehat{NDM}=90{}^\circ\\\widehat{NMA}+\widehat{NMD}=90{}^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{NDM}=\widehat{NMD}$

$\Rightarrow \Delta NMD$ cân tại $N$

$\Rightarrow NM=ND$

Vậy $NA=ND\,\,\,\,\,\left( =NM \right)$

$\Rightarrow N$ là trung điểm $AD$

Tương tự: $P$ là trung điểm $BC$

 

c)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta BAC$, ta có:

$\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=90{}^\circ $

$\widehat{ADB}=\widehat{BAC}$ (cùng phụ $\widehat{DBA}$)

Nên $\Delta ADB\backsim\Delta BAC\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{BC}$

$\Rightarrow AD.BC=A{{B}^{2}}={{\left( 2R \right)}^{2}}=4{{R}^{2}}$