Đáp án:

 D

Giải thích các bước giải:

Bpt \(f\left( x \right) < x + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - x < m\)

Xét hàm \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\) trên \(\left( {0;2} \right)\) có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1\).

Ta thấy \(f'\left( x \right) < 1,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) hay \(f'\left( x \right) - 1 < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) nên hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right)\)

\( \Rightarrow g\left( 0 \right) > g\left( x \right) > g\left( 2 \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( 0 \right) > f\left( x \right) - x > f\left( 2 \right) - 2\)

Do đó bpt \(f\left( x \right) - x < m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right)\).

Chọn D.