Giải thích các bước giải:

a.Với $m=0$ khi đó hệ trở thành:
$\begin{cases} 4y=2\\ x=0\end{cases}$
$\to x=0,y=\dfrac12$
$\to$Hệ có nghiệm duy nhất
$\to m=0$ chọn
Với $m\ne 0\to$Để hệ có nghiệm duy nhất
$\to \dfrac{m}{1}\ne \dfrac{4}{m}\to m^2\ne 4\to m\ne \pm2$
b.Ta có: $x+my=m\to x=m-my$
Mà $mx+4y=m+2$
$\to m\cdot (m-my)+4y=m+2$
$\to m^2-m^2y+4y=m+2$
$\to y(m^2-4)=m^2-m-2$
$\to y(m+2)(m-2)=(m-2)(m+1)(*)$
Để hệ có nghiệm nguyên
Nếu $m=2\to (*)$ trở thành $0=0$ luôn đúng
$\to (*)$ có vô số nghiệm
$\to $Hệ có nghiệm nguyên
Nếu $m\ne 2\to$Để hệ có nghiệm
$\to  (*)$ có nghiệm duy nhất nguyên
$\to y=\dfrac{m+1}{m+2}$ nguyên
$\to m+1\quad\vdots\quad m+2$ vì $m\in Z$
$\to m+2-1\quad\vdots\quad m+2$
$\to 1\quad\vdots\quad m+2$
$\to m+2=\pm1$
$\to m\in\{-1,-3\}$
$\to m\in\{-1,2,-3\}$
c.Từ câu b
$\to$Để hệ có nghiệm duy nhất $\to m\ne \pm2$
$\to y=\dfrac{m+1}{m+2}$
$\to x=m-my=m(1-y)=\dfrac{m}{m+2}$
$\to 2y-x=\dfrac{2(m+1)}{m+2}-\dfrac{m}{m+2}=\dfrac{2m+2-m}{m+2}=1$
$\to 2y-x=1$ không đổi 

Xem hình.