Giải thích các bước giải:

a) Xét ΔABC có:

$\begin{array}{l}
A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 = {5^2}\\
 \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}
\end{array}$

=> ΔABC vuông tại A

=> ∠BAC=90$^\circ $

b) Vì AH là đường cao

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.AB.AC\\
 \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{3.4}}{5} = 2,4\left( {cm} \right)
\end{array}$

c)

Vì A, B∈(O)

=>∠BAO=∠ABO

Vì A, C∈(I) => ∠IAC=∠ICA

=> ∠BAO+∠IAC+∠BAC=∠ABO+∠ICA+90$^\circ $

=>∠IAO=∠ABO+∠ICA+(∠ABC+∠BCA)

=>∠IAO=∠IAB+∠OBC

Vì (O) tiếp xúc BC tại B

=> ∠OBC=90$^\circ $

Tương tự: ∠IAB=90$^\circ $

=>∠IAO=180 $^\circ $

=> IA+AO=IO

=> (O) tiếp xúc (I) tại A(đpcm)

d) Vì M là trung điểm BC

=> AM=BC/2

=> AM=BM=CM

=> M thuộc đường trung trực của AB và AC

Vì C, A∈(I) => CI=AI

=> I thuộc đường trung trực CA

=> IM là trung trực AC

=> IM⊥CA Mà AC⊥AB

=> IM//AB

Tương tự: MO⊥AB

=> IM⊥MO

=> ΔIMO vuông tại M

Đường tròn đường kính BC có tâm M, bán kính MB=MA

Xét ΔAMO và ΔBMO có:

AO chung

AO=BO(cmt)

AM=BM(cmt)

=> ΔAMO = ΔBMO(c-c-c)

=> ∠MAO=∠MBO=90$^\circ $

=> MA⊥IO

=> IO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M

Hay IO là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC