Giải thích các bước giải:

 a) Vì AM, BM là tiếp tuyến của (O)

=> AM=BM

Tương tự: AN=CN

=> AM+AN=BM+CN

=> BM+CN=MN(đpcm)

b) Vì A, B∈(O)

=> AO=BO

=> O thuộc đường trung trực AB

Vì AM=BM(cmt)

=>M thuộc đường trung trực AB

=> OM là đường trung trực AB

=> OM⊥AB 

Vì A thuộc đường tròn đường kính BC

=> AB⊥AC

=> MO//AC(đpcm)

c) Vì ΔABC vuông tại A có đường cao AH nên ta có công thức:

$A{H^2} = BH.CH$

Vì AH⊥BC

=> ∠AHB=∠CHB=90$^\circ $

=> ∠HAC+∠HCA=90$^\circ $

Mà ∠ABC+∠ACB=90$^\circ $

=> ∠B=∠HAC

Ta có:

$AB.\sin B = BH$(trong ΔABH)

$AC.\cos B = AC.\cos HAC = HC$(trongΔHAC)

=> $A{H^2} = AB.AC.\cos B.\sin B$(đpcm)

d) Chứng minh tương tự như trên ta được:

ON⊥AC

=> ∠ACB+∠NOC=90$^\circ $

Mà ∠ACB+∠ABC=90$^\circ $

=> ∠NOC=∠ABC

Xét ΔBAC và ΔOCN có:

∠NOC=∠ABC(cmt), ∠BAC=OCN=90$^\circ $

=> ΔBAC~ΔOCN

=> $\frac{{CO}}{{CN}} = \frac{{AB}}{{AC}}$

Mà BO=CO

=> $\frac{{BO}}{{CN}} = \frac{{AB}}{{AC}}$

Chứng minh tương tự: $\frac{{AB}}{{CA}} = \frac{{BD}}{{BC}}$

=> $\frac{{BO}}{{CN}} = \frac{{DB}}{{BC}}$

Xét ΔBDO và ΔBCN có:

∠DBO=∠BCN=90$^\circ $

$\frac{{BO}}{{CN}} = \frac{{DB}}{{BC}}$(cmt)

=> ΔBDO ~ ΔBCN

=> ∠BOD=∠BNC

=> BN⊥DO(đpcm)