a) Gọi `D` là giao điểm của `OK` và `AC`

Vì `BK` đường phân giác của $\widehat{ABC} (gt)$

Nên: $\mathop{AK}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{KC}\limits^{\displaystyle\frown}$

`=> AK=KC` (liên hệ giữa cung và dây)

Ta có: `OA=OC(=R)`

`=> O ∈` trung trực của `AC (1)`

Lại có: `AK=KC (cmt)`

`=> K∈` trung trực của `AC (2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra: `OK` là trung trực của `AC` 

`=> OK⊥AC` tại `D=>` $\widehat{MDK}=90^o$

Xét `ΔMHB` và `ΔMDK` có:

`=>` $\widehat{HBM}=\widehat{MKO}$ (cặp góc tương ứng) `(3)`

Xét $ΔOBK$ có:

`OB=OK(=R)`

`=> ΔOBK` cân tại `O` 

`=>` $\widehat{OBK}=\widehat{OKB} (4)$

Từ `(3)` và `(4)` suy ra: $\widehat{HBM}=\widehat{OBK}$

Do đó: `BM` là phân giác trong của $\widehat{OBH} (đpcm)$

b) Ta có: $\widehat{KBC}=\dfrac{1}{2}sđ\mathop{KC}\limits^{\displaystyle\frown}$

Lại có:  $\widehat{ACK}=\dfrac{1}{2} sđ\mathop{AK}\limits^{\displaystyle\frown}$

Mà: $\mathop{AK}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{KC}\limits^{\displaystyle\frown} (cmt)$

Suy ra: $\widehat{KBC}=\widehat{ACK}⇔\widehat{KBC}=\widehat{MCK}$

Xét $ΔKCM$ và $ΔKBC$ có:

$\left.\begin{matrix} \widehat{BKC} \text{ chung}\\\widehat{KBC}=\widehat{MCK} (cmt)\\\end{matrix}\right\}⇒ΔKCM \backsim ΔKBC$

`=> {KC}/{KB}={KM}/{KC} => KC^2=KB.KM (đpcm)`