Đáp án:

Khi `CD`//$AB$ thì `S_{∆KAB_{max}}=R^2\sqrt{3}` (đvdt)

Giải thích các bước giải:

(Sửa điểm `R` là điểm `E`)

`c)` 

`\hat{ACB}=\hat{ADB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa `(O))`

`=>BC`$\perp AK; AD\perp BK$

Gọi $H$ là giao điểm của `BC` và `AD`

`=>H` là trực tâm $∆KAB$

Gọi `N` là giao điểm của `KH` và `AB` 

`=>KN`$\perp AB$

$\\$

Xét $∆OCD$ có: `OC=OD=CD=R`

`=>∆OCD` đều

`=>\hat{COD}=60°=sđ\stackrel\frown{CD}=60°` (góc ở tâm chắn cung $CD$)

`\hat{KAD}=\hat{CAD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CD}=1/ 2 . 60°=30°` (góc nội tiếp chắn cung $CD)$

$\\$

`∆KAD` vuông tại $D$

`=>\hat{AKD}=90°-\hat{KAD}=90°-30°=60°`

`\qquad cos\hat{KAD}=cos30°=\sqrt{3}/2={AD}/{AK}`

`=>AD=\sqrt{3}/2 AK`

`S_{∆KAB}=1/ 2 AD.BK`

`=1/ 2 .\sqrt{3}/2 . AK.BK=\sqrt{3}/4 AK.BK`

`=>S_{∆KAB}` max `<=>AK.BK max`

Ta luôn có:

`\qquad (AK-BK)^2\ge 0`

`<=>AK^2-2AK.BK+BK^2\ge 0`

`<=>AK^2+BK^2\ge 2AK.BK`

`<=>AK.BK\le {AK^2+BK^2}/2`

`AK.BK` max hay dấu "=" xảy ra khi: `(AK-BK)^2=0<=>AK=BK<=>∆KAB` cân tại `K`

`=>KN` vừa là đường cao, phân giác và trung tuyến `∆KAB`

`=>N≡O;AN=AO=R` và `\hat{AKN}=\hat{AKB}/2=\hat{AKD}/2={60°}/2=30°`

`S_{∆KAB}=1/ 2 KN.AB`

`=1/ 2 co t g\hat{AKN}. AN.AB`

`=1/ 2 .co t g30° . R.2R=R^2\sqrt{3}`

$\\$

Tứ giác `ABDC` nội tiếp `(O)`

`=>\hat{KDC}=\hat{KAB}` (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

Xét $∆KDC$ và $∆KAB$ có:

`\qquad \hat{K}` chung

`\qquad \hat{KDC}=\hat{KAB}`

`=>∆KDC∽∆KAB` (g-g)

`=>{KC}/{KB}={KD}/{KA}`

Mà $KA=KB$ $(∆KAB$ cân tại $K$)

`=>{KC}/{KA}={KD}/{KB}`

`=>CD`//$AB$ (định lý Talet đảo)

Vậy khi `CD`//$AB$ thì `S_{∆KAB_{max}}=R^2\sqrt{3}` (đvdt)

_____

đvdt: đơn vị diện tích