Đáp án+Giải thích các bước giải:

`(m+2)x^2-(2m-1)x-3+m=0` 

a) `TH1:` `a=0` hay `m+2=0<=>m=-2`

Phương trình đã cho viết lại:

`(-2+2)x^2-[2.(-2)-1]x-3-2=0`

`<=>5x-5=0`

`<=>5x=5`

`<=>x=1` `(2)`

`->`Với `m=-2` thì phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất `x=1`

`TH2:` `ane 0` hay `m+2 ne 0 <=> m ne-2`

Lúc này phương trình đã cho là phương trình bậc hai

`\Delta=[-(2m-1)]^2-4.(m+2).(m-3)`

         `=4m^2-4m+1-4m^2+12m-8m+24`

         `=25>0`

`->`Với `m ne -2` thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `(1)`

Từ `(1)` và `(2)` ta kết luận được phương trình có nghiệm với mọi `m`

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: $\begin{cases} a \neq0\\\Delta>0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}m \neq-2\\ [-(2m-1)]^2-4.(m+2).(m-3)>0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}m \neq-2\\4m^2-4m+1-4m^2+12m-8m+24>0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} m \neq-2\\25>0 \text{(luôn đúng)}\end{cases}$

`<=>m ne-2`

Vậy với `m ne-2` thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 

Phương trình có nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia khi và chỉ khi: \(\left[ \begin{array}{l}x_{1}=2x_{2}\\x_{2}=2x_{1}\end{array} \right.\)

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{2m-1+\sqrt{25}}{2(m+2)}=2.\dfrac{2m-1-\sqrt{25}}{2(m+2)}\\\dfrac{2m-1-\sqrt{25}}{2(m+2)}=2.\dfrac{2m-1+\sqrt{25}}{2(m+2)}\end{array} \right.\) 

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}1=\dfrac{2(m-3)}{m+2}\\\dfrac{m-3}{m+2}=2\end{array} \right.\) 

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}2m-6=m+2\\2m+4=m-3\end{array} \right.\) 

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}x=8(tm)\\x=-7(tm)\end{array} \right.\) 

Vậy với `m=8` hoặc `m=-7` thì phương trình có nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia

Đáp án:

$\begin{array}{l}
b)\left\{ \begin{array}{l}
m + 2 \ne 0\\
\Delta  > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 2\\
{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {m + 2} \right)\left( { - 3 + m} \right) > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 2\\
4{m^2} - 4m + 1 - 4\left( {{m^2} - m - 6} \right) > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 2\\
4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4m + 24 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 2\\
25 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m \ne  - 2
\end{array}$

$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m - 1}}{{m + 2}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 3 + m}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
Khi:{x_1} = 2{x_2}\\
 \Leftrightarrow 3{x_2} = \dfrac{{2m - 1}}{{m + 2}}\\
 \Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{{2m - 1}}{{3\left( {m + 2} \right)}}\\
 \Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{2\left( {2m - 1} \right)}}{{3\left( {m + 2} \right)}}\\
 \Leftrightarrow 2x_2^2 = \dfrac{{ - 3 + m}}{{m + 2}}\\
 \Leftrightarrow 2.{\left( {\dfrac{{2m - 1}}{{3\left( {m + 2} \right)}}} \right)^2} = \dfrac{{ - 3 + m}}{{m + 2}}\\
 \Leftrightarrow 2.\dfrac{{4{m^2} - 4m + 1}}{{9{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3 + m}}{{m + 2}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{8{m^2} - 8m + 2}}{{9\left( {m + 2} \right)}} = m - 3\\
 \Leftrightarrow 8{m^2} - 8m + 2 = 9\left( {m + 2} \right)\left( {m - 3} \right)\\
 \Leftrightarrow 8{m^2} - 8m + 2 = 9\left( {{m^2} - m - 6} \right)\\
 \Leftrightarrow 8{m^2} - 8m + 2 = 9{m^2} - 9m - 54\\
 \Leftrightarrow {m^2} - m - 56 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 8} \right)\left( {m + 7} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow m = 8\left( {do:m >  - \dfrac{{25}}{8}} \right)\\
Vậy\,m = 8
\end{array}$