`1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2 (1)` 

`text{Với n = 1 thì}`

`VT = 1`

`VP = n^2 = 1 = VT`

`-> (1)` `text{đúng với n = 1}`

`text{Giả sử (1) đúng với}` `n = k >= 1`

`1 + 3 + 5 + .... + (2k - 1) = k^2` `(text{Giả thuyết quy nạp})`

`text{Ta cần chứng minh (1) đúng với}` `n = k + 1` `text{tức là}`

`1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1] = (k + 1)^2`

`text{Thật vậy}`

`VT`

`= 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)`

`= [1 + 3 + 4 + ... + (2k - 1)] + (2k + 1) (2)`

`text{Mà}` `1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k^2` `(text{theo giả thuyết quy nạp})`

`-> (2)`

`= k^2 + 2k + 1`

`= (k + 1)^2`

`= VP`

`text{Vậy biểu thức được chứng minh}` 

Tài liệu viết nhầm đó bạn
Phải sửa là:

`S_{k+1}=1+3+5+...+2k-1+2(k+1)-1`

`S_{k+1}=k^2+2(k+1)-1`

(Vì `S_k=1+3+5+...+2k-1=k^2`)

`S_{k+1}=k^2+2k+2-1`

`S_{k+1}=k^2+2k+1`

`S_{k+1}=(k+1)^2`