Đáp án:

 $231$

Giải thích các bước giải:

 Ta có;

$\begin{array}{l}
C_n^1 + 6C_n^2 + 6C_n^3 = 9{n^2} - 14n\left( {DK:n \ge 3} \right)\\
 \Leftrightarrow n + 6C_{n + 1}^3 - 9{n^2} + 14n = 0\\
 \Leftrightarrow n + 6\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!3!}} - 9{n^2} + 14n = 0\\
 \Leftrightarrow n + \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right) - 9{n^2} + 14n = 0\\
 \Leftrightarrow n\left[ {1 + \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) - 9n + 14} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow {n^2} - 9n + 14 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {n - 2} \right)\left( {n - 7} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow n - 7 = 0\\
 \Leftrightarrow n = 7
\end{array}$

Khi đó:

+) Tổng các hệ số của khai triển $3x{\left( {{x^3} + x + 1} \right)^7}$ là:$3.1{\left( {{1^3} + 1 + 1} \right)^7} = {3^8}$

+) Tìm hệ số của số hạng chứa $x^5$ trong khai triển $3x{\left( {{x^3} + x + 1} \right)^7}$ 

Ta có:

$\begin{array}{l}
3x{\left( {{x^3} + x + 1} \right)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {3x.C_7^k{{\left( {{x^3} + x} \right)}^k}} \\
 = \sum\limits_{k = 0}^7 {3C_7^k} {\left( {{x^2} + 1} \right)^k}{x^{k + 1}}\\
 = \sum\limits_{k = 0}^7 {3C_7^k} \sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m{{\left( {{x^2}} \right)}^m}} {x^{k + 1}}\\
 = \sum\limits_{k = 0}^7 {3C_7^k} \sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m{x^{2m + k + 1}}} 
\end{array}$

Để $2m + k + 1 = 5 \Leftrightarrow 2m + k = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
k = 2\\
m = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
k = 4\\
m = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

Khi đó: Hệ số của $x^5$ trong khai triển $3x{\left( {{x^3} + x + 1} \right)^7}$ là $3.C_7^4.C_4^0 + 3.C_7^2.C_2^1 = 231$

Vậy hệ số của $x^5$ trong khai triển là $231$