Đáp án + giải thích các bước giải:

Quen lắm, chắc chắn giải 1 lần trên đây rồi

Đề gốc hình như nó là chứng minh $\sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{b^{2}+c^{2}}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{c^{2}+a^{2}}{c+a}}+3\le\sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})$ 

tức GTNN đề bài ban đầu là $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$

$\\$

$\\$

$\\$

$ \sqrt{2}\sqrt{a+b}$

$=\sqrt{\dfrac{ab}{a+b}}\sqrt{2\bigg(2+\dfrac{a^2+b^2}{ab}\bigg)}$

$\mathop{\geq}\limits^{Bunhiacopxki}\sqrt{\dfrac{ab}{a+b}}\bigg(\sqrt{2}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{ab}}\bigg)$

$=\sqrt{\dfrac{2ab}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{a+b}}$

$\to \sum\sqrt{2}\sqrt{a+b}\ge \sum{\sqrt {\dfrac {a^2+b^2}{a+b}}}+\sum {\sqrt {\dfrac {2ab}{a+b}}}$

$=\sum {\sqrt {\dfrac {(a^2+b^2)}{a+b}}}+\sum\dfrac {1}{\sqrt {\dfrac {1}{2a}+\dfrac {1}{2b}}}$

$\mathop{\geq}\limits^{Bunhiacopxki} \sum {\sqrt {\dfrac {(a^2+b^2)}{a+b}}}+\dfrac{9}{\sum \sqrt{\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}}}$

$\mathop{\geq}\limits^{Bunhiacopxki} \sum {\sqrt {\dfrac {(a^2+b^2)}{a+b}}}+\dfrac {9}{\sqrt {3\sum\dfrac {1}{a}}}$

$=\sum {\sqrt {\dfrac {(a^2+b^2)}{a+b}}}+\dfrac {9}{\sqrt {3\dfrac {\sum ab}{abc}}}$

$\mathop{\geq}\limits^{ab+bc+ca\le 3abc}{\sqrt {\dfrac {(a^2+b^2)}{a+b}}}+3$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$