Giải thích các bước giải:

a.Gọi $E,F$ là trung điểm $BC, CD\to EF//BD$

Vì $M,N$ là trọng tâm $\Delta SBC,\Delta SCD$

$\to  \dfrac{SN}{SF}=\dfrac23=\dfrac{SM}{SE}$

$\to MN//EF\to MN//BD

$\to MN//(SBD)$

b.Gọi $HI$ là đường thẳng qua $M, HI//SB, H\in SC, I\in BC$

         $HN\cap CD=G$

$\to (\alpha)\cap (SABCD)=HGI$

Ta có $SABCD$ là hình chóp tứ giác đều

$\to SO\perp ABCD$

$\to SAC$ là mặt phẳng trung trực của $BD$

$\to N,M$ đối xứng qua $SAC$

$\to HG, HI$ đối xứng qua $SAC\to HG=HI$

Ta có: $HI//SB\to MI//SB$

$\to\dfrac{EI}{EB}=\dfrac{EM}{ES}=\dfrac13$

$\to EI=\dfrac13EB$

$\to EI+EC=\dfrac13EB+EB$ vì $EB=EC$
$\to CI=\dfrac43EB$

$\to CI=\dfrac23BC$

$\to\dfrac{CI}{CB}=\dfrac23$

$\to \dfrac{HI}{SB}=\dfrac{CI}{CB}=\dfrac23$

$\to HI=\dfrac23SB=\dfrac23a$

$\to HG=HI=\dfrac23a\to HG=\dfrac23SD$

Mặt khác $\dfrac{GI}{BD}=\dfrac{CI}{CB}=\dfrac23$

$\to GI=\dfrac23BD$

$\to \dfrac{GH}{SD}=\dfrac{HI}{SB}=\dfrac{GI}{BD}=\dfrac23$

$\to \Delta HGI\sim\Delta SDB(c.c.c)$

$\to \dfrac{S_{HGI}}{S_{SBD}}=(\dfrac23)^2=\dfrac49$

$\to S_{HGI}=\dfrac49S_{SBD}=\dfrac29SO.BD$

$\to S_{GHI}=\dfrac29\cdot\sqrt{SB^2-OB^2}\cdot BD$

$\to S_{GHI}=\dfrac29\cdot\sqrt{a^2-(\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^2}\cdot a\sqrt{2}$

$\to S_{GHI}=\dfrac29a^2$