Đáp án:

$-4455$

Giải thích các bước giải:

Đặt $f(x)=(\sqrt x -3x^2)^n$

Tổng các hệ số bằng $-2048$

$\to f(1) = -2048$

$\to (\sqrt 1 - 3.1^2)^n = -2048$

$\to (-2)^n = -2048$

$\to n = 11$

Số hạng tổng quát trong khai triển $(\sqrt x - 3x^2)^{11}$ có dạng:

$\quad \sum\limits_{k=0}^{11}C_{11}^k(\sqrt x)^{11 - x}.(-3x^2)^k\qquad (0\leq k \leq 11;\, k\in\Bbb N)$

$=\sum\limits_{k=0}^{11}C_{11}^k(-3)^k.x^{\tfrac{11 + 3k}{2}}$

Số hạng chứa $x^{10}$ ứng với phương trình:

$\quad \dfrac{11+3k}{2} = 10 \Leftrightarrow k = 3\quad (nhận)$

Hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ là:

$C_{11}^3.(-3)^3 = -4455$

`(sqrt{x} - 3x^2)^{n}`

`text{Thay x = 1 vào biểu thức trên, ta được}`

`(sqrt{1} - 3.1)^n = -2048`

`-> (-2)^{n} = -2048`

`-> (-2)^{n} = (-2)^{11}`

`-> n = 11`

`text{Hệ thức trở thành}`

`-> (sqrt{x} - 3x^2)^{11}`

`= sum_{k = 0}^{11}.C_{11}^{k}.(-3)^{k}.(sqrt{x})^{11 - k}.x^{2k}`

`= sum_{k = 0}^{11}.C_{11}^{k}.(-3)^{k}`$.x^{\dfrac{11 - k}{2}}.x^{2k}$

`= sum_{k = 0}^{11}.C_{11}^{k}.(-3)^{k}`.$x^{\dfrac{11 + 3k}{2}}$

`text{Theo giả thuyết}`

`-> (11 + 3k)/2 = 10`

`-> 11 + 3k = 20`

`-> 3k = 9`

`-> k = 3`

`-> text{Số hạng chứa}` `x^{10}` `text{trong khai triển là}` `C_{11}^{3}.(-3)^{3}.x^{10}`