Giải thích các bước giải:

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow$ MA=MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Tưong tự: NA=NC

$\Rightarrow$ NA+MA=NC+MB
$\Rightarrow$ MN=NC+MB(đpcm)

b) Vì MA=MB$\Rightarrow$ M thuộc trung trực AB

Vì OA=OB$\Rightarrow$ O thuộc trung trực AB
$\Rightarrow$ OM là trung trực AB

$\Rightarrow$ OM⊥AB

Tương tự: ON⊥AC

Mà AB⊥AC (do A∈(BC))

$\Rightarrow$ OM//AC và ON//AB(đpcm)

c)

Vì ΔABC vuông tại A có đường cao AH nên ta có công thức:

$A{H^2} = BH.CH$

Vì AH⊥BC

$\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{CHB}=90^\circ $

$\Rightarrow {HAC}+\widehat{HCA}=90^\circ $

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^\circ $

$\widehat{B}=\widehat{HAC}$

Ta có:

$AB.\sin B = BH$ (trong ΔABH)

$AC.\cos B = AC.\cos HAC = HC$ (trong ΔHAC)

$\Rightarrow AH^2 = AB.AC.\cos B.\sin B$ (đpcm)

d) Chứng minh tương tự như trên ta được:

ON⊥AC

$\widehat{ACB}+\widehat{NOC}=90^\circ $

Mà $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^\circ $

$\Rightarrow\widehat{NOC}=\widehat{ABC}$

Xét ΔBAC và ΔOCN có:

$\widehat{NOC}=\widehat{ABC}$ (cmt),

$\widehat{BAC}=\widehat{OCN}=90^\circ $

$\Rightarrow ΔBAC\simΔOCN$

$\Rightarrow\dfrac{{CO}}{{CN}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$

Mà BO=CO

$\dfrac{{BO}}{{CN}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$

Chứng minh tương tự: $\dfrac{{AB}}{{CA}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}$

$\Rightarrow\dfrac{{BO}}{{CN}} = \dfrac{{DB}}{{BC}}$

Xét ΔBDO và ΔBCN có:

$\widehat{DBO}=\widehat{BCN}=90^\circ $

$\dfrac{{BO}}{{CN}} = \dfrac{{DB}}{{BC}}$ (cmt)

$\Rightarrow ΔBDO \sim ΔBCN$

$\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{BNC}$

$\Rightarrow$ BN⊥DO (đpcm)