Ta có: `u_{n+1}=10u_n+1-9n`

`u_1=11`

`u_2=10.u_1+1-9.1=10.11-8=102`

`u_3=10.u_2+1-9.2=10.102-17=1003`

Ta thấy rằng:

`u_1=11=10^1 +1`

`u_2=102=10^2+2`

`u_3=1003=10^3+3`

Giả sử: `u_n=10^n+n (1)`

Ta chứng minh `(1)` đúng `∀n∈N`*

*Với `n=1=>u_1=11` đúng

*Giả sử `(1)` đúng với `n=k≥1=>u_k=10^k+k`

*Ta c/m `(1)` đúng với `n=k+1`,

tức là cần c/m: `u_{k+1}=10^{k+1}+k+1`

Thật vậy, với `n=k+1` ta có:

`u_{k+1}=10u_k +1-9k` (công thức đề bài cho)

`<=>u_{k+1}=10.(10^k+k)+1-9k`

`<=>u_{k+1}=10^{k+1}+10k-9k+1`

`<=>u_{k+1}=10^{k+1}+k+1`

`=>(1)` đúng với `n=k+1`

`=>(1)` đúng `∀n∈N`*

Vậy công thức tổng quát của `u_n` là:

 `u_n=10^n+n   (n∈N`*)

$u_{1}=11=10^{1}+1$

$u_{2}=10.u_{1}+1-9.1=10.11+1-9.1=102=10^{2}+2$

$u_{3}=10.u_{2}+1-9.2=10.102+1-9.2=1003=10^{3}+3$

$⇒$ Số hạng tổng quát của dãy là: $u_{n}=10^{n}+n$

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$

$⇒u_{k}=10^{k}+k$

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$, tức là: $u_{k+1}=10^{k+1}+k+1$

Thật vậy: $u_{k+1}=10.u_{k}+1-9.k=10.(10^{k}+k)+1-9k$

$=10^{k+1}+k+1$

$⇒$ Mệnh đề đúng với $n=k+1$

$⇒$ Mệnh đề đúng với $∀n∈N$

$⇒$ Số hạng tổng quát của dãy là: $u_{n}=10^{n}+n$